一、提出问题

一些学者很早就多次提倡把数学史乃至数学哲学融入中学数学教学。在义务教育教科书八年级上册《数学》中有一节的题目是“为什么要证明”，该节就是一个数学史或数学哲学融入数学课堂的很好例子。“为什么要证明”这一节的编写意图是告诉学生通过观察、实验、归纳得到的数学结论未必正确，所以需要证明。

为什么要证明？这其实是一个开放性的课题，但是教材却没有给予开放性回答，而是仅仅从观察、实验与归纳的局限性引入证明的重要性。事实上，“为什么要证明”这个问题从哲学的角度来说答案是开放的，不是一两句话就能说清楚。“证明”这一概念在人类数学发展史中很早就出现了，要真正理解人类在数学上为什么需要证明，就需要回到数学史中寻找答案。

本文主要以泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图与亚里士多德等几位哲学家与数学家为例，通过对他们在关于数学证明方面工作的梳理研究来回答“为什么要证明”这个问题。实际上，本文列举的哲学家与数学家都对推动证明的发展做出了积极的贡献，可以说，“数学是演绎的科学”是在这些哲学家与数学家不断探索中得到的，后来的数学家也继承与发展了这一数学思想。“为什么要证明”的发展史就是由这些哲学家的贡献组成的。因此，认识理解了以下哲学家与数学家在数学证明上的研究，基本上就认识和理解了“为什么要证明”的数学发展史。

二、数学史的角度

1.泰勒斯与证明。在数学史上，“为什么要证明”这个问题可以追溯到古希腊。泰勒斯（Thales，约公元前640年—约公元前546年）是爱奥尼亚学派的创始人，是古希腊第一位哲学家、数学家。泰勒斯最伟大的贡献是把古埃及丈量土地的学问改造成演绎推理的学问，这一贡献标志着人类开始从经验数学转向演绎数学。王树禾高度评价了泰勒斯的这一贡献：“在泰勒斯的示范之下，希腊数学开始由直观感性的经验阶段向抽象的理论证明阶段过渡，这是数学史上里程碑式的突破，对数学的成长与发展具有极其重大的意义。”泰勒斯自己发明了几个定理并证明出其中的五个定理。因此，泰勒斯是论证数学发端的第一位代表人物。美国著名数学史家卡尔·B·波耶也认为，数学作为一种演绎的科学，是由泰勒斯开始的。

2.毕达哥拉斯与证明。毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年—约公元前500年）是古希腊哲学家、数学家，早年曾求学于泰勒斯和阿那克西曼德，40岁后创立所谓的毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派提出了“万物皆数”的哲学观点，这里的“数”是整数或可以写成两个整数比的形式。这个学派也证明了一些数学命题，例如三角形内角和是180度与毕达哥拉斯定理。但是，随着毕达哥拉斯学派对数学研究的深入，他们发现边长为1的单位正方形对角线的长度虽然是有限的、客观存在的，但是却不能写成两个整数比的形式，也就是说这个对角线的长度不能用古希腊人所认识的有理数来表示，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信仰遭到破坏，引起古希腊人在信仰上的恐慌，于是第一次数学危机爆发。第一次数学危机之后，演绎推理在古希腊数学中的地位变得更加重要，尤为突出。一个重要的原因是第一次数学危机给古希腊人的教训是，直觉与经验不可靠，只有逻辑的演绎证明才是可靠的，而数学就要建立在演绎证明可靠的基础之上。从此以后，古希腊在数学方面主要发展了以演绎证明的几何学。也就是说，第一次数学危机使古希腊数学发生了转向：一个是数学研究对象的转向——由危机前的以研究数（算术或代数）为主转向到危机后的以研究形（几何学）为主；一个是在研究方法上由以前的经验与演绎证明并存的方法，转向更多地使用演绎证明的方法。可以说，第一次数学危机加速了古希腊数学演绎证明的历史进程。

3.柏拉图与证明。柏拉图（Plato，公元前427年—公元前347年）是古希腊哲学家， 但是他也热衷于数学事业，对古希腊数学的发展表现了极大的关注与重视。流传十分广泛的一个故事可能是柏拉图在雅典学院的大门上写了几个字：“不懂几何者，不得入内”。即使这个故事是后人编造的， 但也能体现柏拉图对数学的重视。柏拉图还认为，上帝是个几何学家。克莱因认为，“柏拉图学派是否对数学的演绎结构做出过贡献，我们不能肯定。他们的关心证明，关心推理过程的方法论，普罗克洛斯和第欧根尼（Diogenes Laertius，3世纪）把两类方法论归功于柏拉图学派。第一类是分析的方法……第二类是归谬或间接法”，演绎结构在柏拉图心目中的地位是很高的。 克莱因说：“柏拉图确乎肯定知识有加以演绎整理的需要。科学的任务是发现（理想） 自然界的结构，并把它在演绎系统里表述出来。”可见，柏拉图对推动演绎证明在数学中的应用具有积极的影响。

克莱因在《古今数学思想》中有这样一段文字：“为什么希腊人坚持要作演绎证明呢？既然归纳、观察和实验一直是获得知识的重要来源，并且被各门科学用得很多很好，那为什么希腊人喜欢在数学里用演绎推理而排斥其他一切方法呢？我们知道希腊人（人们称之为有哲学思想的几何学家）喜欢推理和设想，这从他们对哲学、逻辑和理论科学作出的巨大贡献可以得到证明。另外， 哲学家是关心获得真理的，而归纳、实验以及根据经验作出的一般结论只能给出可能正确的知识，而演绎法在前提正确的条件下则给出绝对肯定的结果。在古希腊社会中，数学是哲学家所追求的真理总体的一部分，因而认为必须是演绎的。”可见，“为什么要证明”真正的原因虽然与教材中所说（观察、经验与归纳的局限性）相差无几，但是在历史上的来源要追溯到这里。同时可以看出，古希腊数学的发展是受到哲学家追求真理的观念所影响的。上面的这段文字克莱因没有指明是否为柏拉图所说，但是由于这段话出现在“柏拉图学派”这节内容中，可见，即使不是柏拉图本人所说或所持有的观点，显然也是与柏拉图有关系的。古希腊哲学家赫拉克利特（Herachlitus）提出了“人不能两次踏进同一条河里”，这句话的意思是说一切皆变，一切皆流，当你想第二次踏入那条河的时候，其实那条河也在变化，那条河也就不是你第一次踏进的那条河。这种思想在世俗的现实世界中是存在的，在一切变化的世界里如何追求真理？柏拉图在赫拉克利特、巴门尼德、毕达哥拉斯、苏格拉底等思想的基础上提出了自己的“理念论”。该理论认为，理念的世界是完美的、永恒的、不变的，但是世俗世界（可感世界）是不完美的、容易消失的、变化的，而真理或知识只能存在于永恒的理念世界（可知世界），而不能存在于世俗的现实世界。也就是说，在现实世界中，依靠感觉经验得到的不是真的，而是虚幻的，这就如插入水中的筷子变弯了，这仅仅是表象，而不是事物真实的本质。柏拉图的理念论实际上说明了柏拉图对现实的生活实践活动中的经验、观察与归纳都是持着否定的态度，因为这些都是感官的，都是容易消失的，他认为真理不能从由这三种方法中得到。这种“理念论”反映在数学上就是，数学真理需要逻辑的演绎证明才能得到，而不是仅仅依靠归纳、实验与观察就能够得到的，这就从哲学的角度解释了柏拉图坚持演绎证明，而排斥实践经验的原因。

4.亚里士多德与证明。亚里士多德（Aristotle ，公元前3 8 4 年—公元前322 年）是古希腊伟大的哲学家，是古希腊哲学的集大成者，他对数学也是有贡献的。克莱因说：“亚里士多德虽在发现新的数学结果上没有重要贡献（欧几里得《原本》中有几个定理属于亚里士多德），但他对数学的本性及其与物理世界的关系所发表的看法却影响很多。”“希腊人在研究出正确的数学推理规律时就已奠定了逻辑的基础，但是等到有亚里士多德这样的学者才能把这些规律典范化和系统化，使之形成一门独立科学。从亚里士多德的著作中，也可十分清楚地看出，他是从数学得出逻辑来的。”“亚里士多德的有些定义和公理是被欧几里得所采纳的。”“接着欧几里得就列出五个公设和公理。他采纳亚里士多德对公设和公理的区别，即公理是适用于一切科学的真理，而公设则只应用于几何。”克莱因有一段话强调亚里士多德是重视演绎证明的：“在数学里他（亚里士多德）强调演绎证明，认为这是确定事实的唯一的基础。”由此可以看出，亚里士多德在数学发展上提炼了逻辑的思想，并在此基础上强调了逻辑在数学中的应用。

5.欧几里得、阿波罗尼奥斯与证明。亚历山大时期数学家欧几里得在前人的基础上用公理化的演绎体系方式建立了几何学的大厦，具体的表现为《原本》的问世。当然，人类的数学公理化体系的发展在这个时期还没有终结。一方面，欧几里得的几何公理化还不太彻底，这项工作留给皮亚诺与希尔伯特等二十世纪的数学家去做；另一方面，针对欧几里得《原本》中的“第五公设问题” 也给以后数学家带来了新的研究领域，给非欧几何的诞生创造了条件。另一位伟大的几何学家阿波罗尼奥斯（Apollonlius，公元前262—公元前190）也是继承与发扬古典时期的关于圆锥曲线方面研究成果的学者，当然他本人在这个领域也是有创新的。他著有《圆锥曲线论》《截面比》《接触点和切线》《有限截面》等著作，这些著作也可以看出阿波罗尼奥斯就是按照欧几里得公理化体系的方式来写《圆锥曲线论》的。随着古希腊被马其顿王朝入侵以及后来被罗马统治，古希腊数学也就落下了帷幕，但是古希腊人以演绎证明为代表的理性精神并没有消失，而是深深渗透到人类社会生活的方方面面。在中世纪，古希腊数学家的演绎证明的精神影响依旧深远，甚至连上帝的存在，中世纪神学大家托马斯•阿奎那（Thomas Aquinas，1224—1274）都要诉诸于证明， 这就足见古希腊数学证明的影响力。

在古希腊数学史上，还有不少数学家或哲学家在自觉或不自觉地推动演绎证明的数学发展，在此不再列举。

6.证明应用领域的推广。文艺复兴以来，古希腊的理性精神又一次在人类的舞台上发挥出重要的作用。数学的演绎证明被推广到更为广泛的领域。例如，数学家、科学家牛顿（Newton，1642—1727）的《自然哲学之数学原理》就是按照欧几里得《原本》的公理化的模式写成的。著名的经济学家、人口学家马尔萨斯（Malthus，1766—1834）提倡人口论的思想也有两个假设，实际上这就是公理化。西方经济学、会计学的发展也是建立在一定假设（这里的“假设”类似于欧几里得的“公理”或“公设”的思想）的基础上的。无论是爱因斯坦（1879—1955）的广义相对论还是狭义相对论，都是分别建立在两条公设的基础上并推演证明出了一系列的物理学、天文学的理论成果。

最为显著的一个例子是17世纪的哲学家斯宾诺莎（B.Spinoza，1632—1677）的名著《伦理学》，这本书就是一板一眼地按照欧几里得《原本》的方式写成的。1776年， 美国的《独立宣言》也同样是以《原本》为效仿对象的。文艺复兴以来，自然科学与社会科学都在不同程度上进行了数学化的改造，尤其是进行了公理化的改造，似乎只有这样才能更加真实或接近真理。可以这样说，自从古希腊数学公理化体系在欧几里得的《原本》中建立以来，直到今天，由古希腊人开创的需要证明的追求数学真理的方法得到了后人基本上一致的承认并遵守，这也体现了“数学是演绎的科学”这一观点的重要性。

三、结语

通过以上内容可知，数学证明其实与哲学家的数学哲学思想有着千丝万缕的联系。泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图与亚里士多德等伟大的古希腊哲学家与数学家，他们的目的其实是统一的，目标是一致的，都是为了更好地追求数学知识真理而对数学知识强调用演绎证明的方式。这种对数学学科的高标准要求，对后世的影响是巨大的。在现代数学界，要想让一个数学命题得到数学界共同体的承认，必须诉诸于演绎证明。另一方面，这几位哲学家与数学家都强调在数学中需要演绎证明，说明了他们的数学哲学观点强调数学是一门演绎的科学，这就涉及一个数学的本质问题，或者说这是一个认识论的问题。古希腊哲学家认为数学是演绎的科学，所以需要证明，这就是他们的数学观，也是“为什么要证明”的原因。

但是，如果你不认为数学是一门演绎的科学，而认为它是一门经验的科学，同样可以说“数学不需要证明，只需要进行实践活动就能产生数学知识”。这样的例子也是存在的。例如，古埃及数学、古巴比伦数学、古印度数学，甚至中国古代数学中都存在经验的数学，这些文明古国的数学家很少像古希腊数学家那样对数学命题进行证明，虽然在这些文明古国中的数学命题很多没有经过演绎证明，但是经受了实践经验的考验，几乎也都是正确的。这些文明古国的数学很少有证明，因为他们没有像古希腊哲学家或数学家那样特别强调“数学是演绎的科学”这一数学观念。

以上从古希腊数学史的视角论证了为什么要证明，也可以说是古希腊数学家、哲学家为了追求一般的、普遍的和永恒的数学真理进行的探索与研究。泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图与亚里士多德等哲学家与数学家在数学上一个共同的观点就是：数学是演绎的科学，既然是演绎的科学就需要证明。通过以上从数学史的角度回答的“为什么要证明”这一问题，也可以启迪教师如何将数学史或数学哲学融入数学课堂。

（作者：胡吉振，华中师范大学数学教育博士研究生，丽水学院教师教育学院教师；胡典顺，华中师范大学教授，博士生导师。）